평행이동한 원이 직선과 만날 조건

원 $C : x ^{2} + y ^{2} = 4$를 $x$축의 방향으로 $t$만큼 평행이동한 원의 방정식은 $\left( x - t \right) ^{2} + y ^{2} = 4$ 이므로 중심은 $\left( t , 0 \right)$, 반지름의 길이는 $2$이다. 이 원이 직선 $3 x - 4 y + 5 = 0$과 만나려면 (중심과 직선 사이의 거리) $\leq$ (반지름의 길이) 이어야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| 3 t + 5 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + \left( - 4 \right) ^{2}}} \leq 2$ $\displaystyle \frac{\left| 3 t + 5 \right|}{5} \leq 2$에서 $\left| 3 t + 5 \right| \leq 10$ $- 10 \leq 3 t + 5 \leq 10$이므로 $- 15 \leq 3 t \leq 5$ 즉 $\displaystyle - 5 \leq t \leq \frac{5}{3}$ 따라서 정수 $t$는 $- 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1$의 $7$개이다. ($t = - 5$이면 중심 $\left( - 5 , 0 \right)$과 직선 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{10}{5} = 2$로 접하고, $t = 2$이면 그 거리가 $\displaystyle \frac{11}{5} > 2$이므로 만나지 않는다.)