공통수학2도형의 이동수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

평행이동한 삼각형의 공통부분

문제

좌표평면 위에 세 점 O(0,0)\mathrm{O} \left( 0 , 0 \right), A(0,1)\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right), B(−1,0)\mathrm{B} \left( - 1 , 0 \right)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB\mathrm{OAB}와 세 점 O(0,0)\mathrm{O} \left( 0 , 0 \right), C(0,−1)\mathrm{C} \left( 0 , - 1 \right), D(1,0)\mathrm{D} \left( 1 , 0 \right)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OCD\mathrm{OCD}가 있다. 양의 실수 tt에 대하여 삼각형 OAB\mathrm{OAB}를 xx축의 방향으로 tt만큼 평행이동한 삼각형을 T1T _{1}, 삼각형 OCD\mathrm{OCD}를 yy축의 방향으로 2t2 t만큼 평행이동한 삼각형을 T2T _{2}라 하자. 두 삼각형 T1T _{1}, T2T _{2}의 내부의 공통부분이 육각형 모양이 되도록 하는 모든 tt의 값의 범위는 13<t<a\displaystyle \frac{1}{3} < t < a이고, 이때 육각형의 넓이의 최댓값은 MM이다. a+Ma + M의 값은? [4점] ①1114\displaystyle \frac{11}{14}②2328\displaystyle \frac{23}{28}③67\displaystyle \frac{6}{7}④2528\displaystyle \frac{25}{28}⑤1314\displaystyle \frac{13}{14}

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①

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해설

[출제의도] 평행이동을 이용하여 넓이의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다. 세 점 O\mathrm{O}, A\mathrm{A}, B\mathrm{B}를 xx축의 방향으로 tt만큼 평행이동한 점을 각각 O1\mathrm{O} _{1}, A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}'이라 하면 O1(t,0)\mathrm{O} _{1} \left( \mathit{t} , 0 \right), A′(t,1)\mathrm{A}' \left( \mathit{t} , 1 \right), B′(−1+t,0)\mathrm{B}' \left( \mathit{-} 1 + t , 0 \right) 세 점 O\mathrm{O}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}를 yy축의 방향으로 2t2 t만큼 평행이동한 점을 각각 O2\mathrm{O} _{2}, C′\mathrm{C}', D′\mathrm{D}'이라 하면 O2(0,2t)\mathrm{O} _{2} \left( \mathit{0} , 2 t \right), C′(0,−1+2t)\mathrm{C}' \left( \mathit{0} , - 1 + 2 t \right), D′(1,2t)\mathrm{D}' \left( \mathit{1} , 2 t \right)

두 삼각형 T1T _{1}, T2T _{2}의 내부의 공통부분이 육각형 모양이 되려면 선분 A′B′\mathrm{A}' B'이 두 선분 O2C′\mathrm{O} _{2} C', O2D′\mathrm{O} _{2} D'과 A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}'이 아닌 두 점에서 만나야 한다. 또 선분 C′D′\mathrm{C}' D'이 두 선분 O1B′\mathrm{O} _{1} B', O1A′\mathrm{O} _{1} A'과 C′\mathrm{C}', D′\mathrm{D}'이 아닌 두 점에서 만나야 한다. 선분 A′B′\mathrm{A}' B'이 두 선분 O2C′\mathrm{O} _{2} C', O2D′\mathrm{O} _{2} D'과 만나는 점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 하고, 선분 C′D′\mathrm{C}' D'이 두 선분 O1B′\mathrm{O} _{1} B', O1A′\mathrm{O} _{1} A'과 만나는 점을 각각 R\mathrm{R}, S\mathrm{S}라 하면 P(0,1−t)\mathrm{P} \left( \mathit{0} , 1 - t \right), Q(3t−1,2t)\mathrm{Q} \left( \mathit{3} t - 1 , 2 t \right), R(1−2t,0)\mathrm{R} \left( \mathit{1} - 2 t , 0 \right), S(t,3t−1)\mathrm{S} \left( \mathit{t} , 3 t - 1 \right) 따라서 조건을 만족시키는 육각형이 만들어지려면 ((점 P\mathrm{P}의 yy좌표))<(< (점 O2\mathrm{O} _{2}의 yy좌표))<(< (점 A′\mathrm{A}'의 yy좌표)) 이어야 하므로 1−t<2t<11 - t < 2 t < 1 1−t<2t1 - t < 2 t에서 t>13\displaystyle t > \frac{1}{3} 2t<12 t < 1에서 t<12\displaystyle t < \frac{1}{2} 두 부등식을 모두 만족시키는 tt의 값의 범위는 13<t<12\displaystyle \frac{1}{3} < t < \frac{1}{2} 또한 ((점 C′\mathrm{C}'의 yy좌표))<(< (점 O1\mathrm{O} _{1}의 yy좌표))<(< (점 S\mathrm{S}의 yy좌표)) 이어야 하고 위와 마찬가지로 13<t<12\displaystyle \frac{1}{3} < t < \frac{1}{2}이다. 따라서 a=12\displaystyle a = \frac{1}{2} 이때 두 선분 A′O1\mathrm{A}' O _{1}, O2D′\mathrm{O} _{2} D'의 교점을 T\mathrm{T}라 하고, 육각형의 넓이를 f(t)f ( t ) (13<t<12)\displaystyle \left( \frac{1}{3} < t < \frac{1}{2} \right)이라 하면 f(t)f ( t )=(= (직사각형 OO1TO2\mathrm{OO} _{1} T O _{2}의 넓이))−(- (삼각형 O1SR\mathrm{O} _{1} S R의 넓이)) −(- (삼각형 O2PQ\mathrm{O} _{2} PQ의 넓이)) =t×2t−2×12(3t−1)2\displaystyle = t \times 2 t - 2 \times \frac{1}{2} \left( 3 t - 1 \right) ^{2}=−7t2+6t−1= \mathit{-} 7 t ^{2} + 6 t - 1 =−7(t−37)2+27\displaystyle = \mathit{-} 7 \left( t - \frac{3}{7} \right) ^{2} + \frac{2}{7} 이므로 f(t)f ( t )는 t=37\displaystyle t = \frac{3}{7}일 때 최대이고, 최댓값은 M=27\displaystyle M = \frac{2}{7} 따라서 a+Ma + M=12+27\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{2}{7}=1114\displaystyle = \frac{11}{14} [보충 설명] 양의 실수 tt의 값의 범위에 따른 두 삼각형 T1T _{1}, T2T _{2}는 다음과 같다.

0<t<13\displaystyle 0 < t < \frac{1}{3}일 때t=13\displaystyle t = \frac{1}{3}일 때
13<t<12\displaystyle \frac{1}{3} < t < \frac{1}{2}일 때t=12\displaystyle t = \frac{1}{2}일 때
12<t<23\displaystyle \frac{1}{2} < t < \frac{2}{3}일 때t=23\displaystyle t = \frac{2}{3}일 때
t>23\displaystyle t > \frac{2}{3}일 때

태그

#평행이동#넓이의 최대

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