공통수학2도형의 이동수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

평행이동한 삼각형의 공통부분

문제

좌표평면 위에 세 점 A(0,9)\mathrm{A} \left( 0 , 9 \right), B(−9,0)\mathrm{B} \mathit{\left( - 9 , 0 \right)}, C(9,0)\mathrm{C} \mathit{\left( 9 , 0 \right)}이 있다. 실수 tt(0<t<18)\left( 0 < t < 18 \right)에 대하여 세 점 O\mathrm{O}, A\mathrm{A}, B\mathrm{B}를 xx축의 방향으로 tt만큼 평행이동한 점을 각각 O′\mathrm{O}', A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}'이라 하자. 삼각형 OCA\mathrm{OCA}의 내부와 삼각형 O′A′B′\mathrm{O}' A' B'의 내부의 공통부분의 넓이를 S(t)S \left( t \right)라 할 때, S(t)S \left( t \right)의 최댓값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점] ①2121②2424③2727④3030⑤3333

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③

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해설

[출제의도] 점의 평행이동을 활용하여 문제 해결하기 (i)\left( \mathrm{i} ) \right. 0<t<90 < t < 9일 때,

−9+t- 9 + t t2\displaystyle \frac{t}{2} 9−t2\displaystyle 9 - \frac{t}{2}

S(t)=2×12×(9−t+9−t2)×t2\displaystyle S \left( t \right) = 2 \times \frac{1}{2} \times \left( 9 - t + 9 - \frac{t}{2} \right) \times \frac{t}{2} =34t(12−t)=−34(t−6)2+27\displaystyle = \frac{3}{4} t \left( 12 - t \right) = - \frac{3}{4} \left( t - 6 \right) ^{2} + 27 따라서 t=6t = 6일 때, S(t)S \left( t \right)의 최댓값은 2727 (ii)\left( \mathrm{ii} \right) 9≤t<189 \leq t < 18일 때,

−9+t- 9 + t t2\displaystyle \frac{t}{2} 9−t2\displaystyle 9 - \frac{t}{2}

S(t)=12×(18−t)×(9−t2)=14(t−18)2\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times \left( 18 - t \right) \times \left( 9 - \frac{t}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( t - 18 \right) ^{2} 따라서 t=9t = 9일 때, S(t)S \left( t \right)의 최댓값은 814\displaystyle \frac{81}{4} (i)\left( \mathrm{i} ) \right., (ii)\left( \mathrm{ii} \right)에서 S(t)S \left( t \right)의 최댓값은 2727

태그

#평행이동#넓이의 최대

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