평행이동과 직선 거리

[출제의도] 평행이동을 이해하고 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 포물선 $y = x ^{2} - 2 x$를 $x$축 방향으로 $m$만큼, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동하면 $y - n = \left( x - m \right) ^{2} - 2 \left( x - m \right)$ 정리하면 $y = x ^{2} - 2 \left( m + 1 \right) x + m ^{2} + 2 m + n$ 이 포물선이 $y = x ^{2} - 12 x + 30$과 일치하므로 $m = 5$, $n = - 5$이다. 직선 $l : x - 2 y = 0$을 $x$축 방향으로 $5$만큼, $y$축 방향으로 $- 5$만큼 평행이동하면 $\left( x - 5 \right) - 2 \left( y + 5 \right) = 0$이므로 직선 $l' : x - 2 y - 15 = 0$이다. 따라서 두 직선 $l$, $l'$사이의 거리 $d$는 직선 $x - 2 y = 0$위의 점 $\left( 0 , 0 \right)$과 직선 $x - 2 y - 15 = 0$사이의 거리와 같다. $\displaystyle d = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3 \sqrt{5}$ $\therefore$$d ^{2} = 45$