공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평행한 두 직선 사이 거리

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 직선 $l _{1} : x - 2 y - 2 = 0$ 과 평행하고 $y$ 절편이 양수인 직선 $l _{2}$ 가 있다. 직선 $l _{1}$ 이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , ${\mathrm{B}}$ 라 하고 직선 $l _{2}$ 가 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C}$ , ${\mathrm{D}}$ 라 할 때, 사각형 $\mathrm{ADCB}$ 의 넓이가 $\mathrm{25}$ 이다. 두 직선 $l _{1}$ 과 $l _{2}$ 사이의 거리를 $d$ 라 할 때, $d ^{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

두 직선 $l _{1}$ , $l _{2}$ 가 서로 평행하므로 $l _{2} : x - 2 y + a = 0 \left( a > 0 \right)$ (사각형 $\mathrm{ADCB}$ 의 넓이) $= ($ 삼각형 $\mathrm{ADC}$ 의 넓이 $) + ($ 삼각형 $\mathrm{ACB}$ 의 넓이 $)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( a + 2 \right) \times \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \times \left( a + 2 \right) \times 1$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( a + 2 \right) \left( \frac{a}{2} + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{a ^{2}}{4} + a + 1 = 25$ $a ^{2} + 4 a - 96 = 0$ $\left( a + 12 \right) \left( a - 8 \right) = 0$ $a = - 12$ 또는 $a = 8$ $a > 0$ 이므로 $a = 8$ 두 직선 $l _{1}$ 과 $l _{2}$ 사이의 거리는 직선 $l _{1}$ 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( 2 , 0 \right)}$ 과 직선 $l _{2} : x - 2 y + 8 = 0$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle d = \frac{\left| 2 + 8 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2}}} = 2 \sqrt{5}$ 따라서 $d ^{2} = 20$

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