공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

뺄셈에 닫힌 집합

문제

정수 전체의 집합 ZZ의 공집합이 아닌 부분집합 AA가 뺄셈에 대하여 닫혀 있을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. 0∈A0 \in A ㄴ. a∈Aa \in A이면 −a∈A- a \in A이다. ㄷ. a∈Aa \in A, b∈Ab \in A이면 a+b∈Aa + b \in A이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 뺄셈에 대하여 닫혀 있는 집합의 원소를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. A≠∅A \not = \emptyset이므로 a∈Aa \in A이면 0=a−a∈A0 = a - a \in A이다. (참) ㄴ. 0∈A0 \in A이고 a∈Aa \in A이므로 −a=0−a∈A- a = 0 - a \in A이다. (참) ㄷ. a∈Aa \in A, b∈Ab \in A이면 ㄴ에서 −b∈A- b \in A이다. 따라서 a+b=a−(−b)∈Aa + b = a - ( - b ) \in A이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [참고] 1∈A1 \in A이면 ㄷ에서 2=1+1∈A2 = 1 + 1 \in A이고, 마찬가지로 3=2+1∈A3 = 2 + 1 \in A, 4=3+1∈A4 = 3 + 1 \in A, … 이므로 모든 자연수 nn이 집합 AA의 원소이다. 또, ㄱ, ㄴ에서 0∈A0 \in A, −n∈A- n \in A이므로 AA는 정수 전체의 집합이다.

태그

#연산에 닫혀 있다

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