미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

포물선과 원 교점 넓이 극한

문제

그림과 같이 좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 곡선 y=1nx2\displaystyle y = \frac{1}{n} x ^{2}과 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 제11사분면에서 만나는 점을 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}이라 하자. 점 A(1,0)\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right)에 대하여 삼각형 OAPn\mathrm{OAP} _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞nSn=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {nS _{n}} = \alpha이다. 이때, 100α100 \alpha의 값을 구하시오. [3점]

x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} y=1nx2\displaystyle y = \frac{1}{n} x ^{2}

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50

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 y=1nx2\displaystyle y = \frac{1}{n} x ^{2}과 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1에서 y2+ny−1=0y ^{2} + ny - 1 = 0이고, y>0y > 0이므로 y=−n+n2+42\displaystyle y = \frac{- n + \sqrt{n ^{2} + 4}}{2}이다. 삼각형 OAPn\mathrm{OAP} _{\mathit{n}}의 넓이 Sn=−n+n2+44\displaystyle S _{n} = \frac{- n + \sqrt{n ^{2} + 4}}{4}이다. lim⁡n→∞nSn=lim⁡n→∞n(−n+n2+4)4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {nS _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n \left( - n + \sqrt{n ^{2} + 4} \right)}{4} =lim⁡n→∞nn+n2+4=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n}{n + \sqrt{n ^{2} + 4}}} = \frac{1}{2}이므로 α=12\displaystyle \alpha = \frac{1}{2} 따라서 100α=50100 \alpha = 50

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