포물선과 사다리꼴

[출제의도] 이차함수의 그래프와 제곱근의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

점 $\mathrm{A} ( \mathit{p} , 3 )$이 이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프 위의 점이므로 $3 = ap ^{2}$, $\displaystyle p ^{2} = \frac{3}{a}$, $\displaystyle p = \mathit{\pm} \sqrt{\frac{3}{a}}$ $p < 0$이므로 $\displaystyle p = \mathit{-} \sqrt{\frac{3}{a}}$이다. $y = ax ^{2}$의 그래프는 $y$축에 대칭이므로 $\displaystyle q = \sqrt{\frac{3}{a}}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$= 1 - \left( - 1 \right)$$= 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = {\sqrt{\frac{3}{\mathit{a}}} - \left( - \sqrt{\frac{3}{\mathit{a}}} \right)}$$\displaystyle = 2 \sqrt{\frac{3}{\mathit{a}}}$ 이고 사다리꼴 $\mathrm{ACDB}$의 높이는 $3 - \left( - 1 \right) = 4$이므로 $\square \mathrm{ACDB}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{CD}}} + {\overline{\mathrm{AB}}} \right) \times 4$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 + 2 \sqrt{\frac{3}{a}} \right) \times 4$$\displaystyle = 4 + 4 \sqrt{\frac{3}{a}}$$\displaystyle = 4 + \sqrt{\frac{48}{a}}$ 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이가 자연수가 되려면 $\displaystyle \sqrt{\frac{48}{a}}$이 자연수이어야 한다. $\displaystyle \sqrt{\frac{48}{a}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{3 \times 4 ^{2}}{a}}$이 자연수가 되기 위한 자연수 $a$의 값은 $3 \times 1 ^{2}$, $3 \times 2 ^{2}$, $3 \times 4 ^{2}$이다. 따라서 $a$의 최댓값은 $48$이다.