포물선 위 직사각형 기울기

[출제의도] 두 선분의 길이의 비를 이용하여 직선의 기울기를 구한다. 이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하고 $y$축에 대하여 대칭이므로 이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 꼭짓점으로 하는 직사각형 $\mathrm{ACDB}$의 변 $\mathrm{AB}$는 $y$축에 의하여 이등분된다. 그러므로 원점 $\mathrm{O}$는 변 $\mathrm{CD}$를 이등분하는 점이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 2 \mathrm{\overline{OD}}$ 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathrm{\overline{CD}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathrm{\overline{BD}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \mathrm{\overline{AC}} = 6 : 5$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}} = \mathrm{\overline{CD}}} = 6 k$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathrm{\overline{BD}} \mathit{=} 5 k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OD}} \mathit{=} 3 k$이다. (단, $k > 0$) 따라서 직선 $\mathrm{OB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\mathrm{{\overline{BD}}}}{\mathrm{\overline{OD}}} \mathit{=} \frac{5 k}{3 k} = \frac{5}{3}$