포물선 위 정사각형 꼭짓점

[출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이해하여 점의 좌표를 구한다. 이차함수 $y = x ^{2}$의 그래프 위의 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 다음과 같다. $\mathrm{A} \mathit{\left( t , t ^{2} \right)}$ 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표가 $t$이고 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이가 $1$이므로 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표는 $t + 1$이고 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표는 $t ^{2} - 1$이다. 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같다. $\mathrm{C} \mathit{\left( t + 1 , t ^{2} - 1 \right)}$ $\cdots$ ㉠ 한편 조건에 의해 점 $\mathrm{C}$는 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$의 그래프 위의 점이므로 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표 $t + 1$을 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$에 대입하면 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( t + 1 \right) ^{2}$ 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \mathit{t} + 1 , \frac{1}{2} \left( t + 1 \right) ^{2} \right)$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle t ^{2} - 1 = \frac{1}{2} \left( t + 1 \right) ^{2}$ 위 등식을 정리하면 $2 t ^{2} - 2 = t ^{2} + 2 t + 1$ $t ^{2} - 2 t - 3 = 0$ 인수분해하면 $( t + 1 ) ( t - 3 ) = 0$ 따라서 $t = - 1$ 또는 $t = 3$ 점 $\mathrm{A}$는 제$1$사분면의 점이므로 $t > 0$에서 $t = 3$ 따라서 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $3$이므로 $y$좌표는 $3 ^{2} = 9$이다. 그러므로 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합은 $3 + 9 = 12$이다.