중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선 내접 직사각형

문제

그림과 같이 직사각형이 이차함수 y=−x2+4y = - x ^{2} + 4의 그래프와 xx 축에 내접할 때, 둘레의 길이가 최대인 직사각형의 넓이를 구하시오. [44점]

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해설

[출제의도] 이차함수의 최대값 구하기

그림과 같이 내접하는 사각형 PQRS에서 Q의 좌표를 (a,0)( a , 0 )이라 하면 R의 좌표는 (a,−a2+4)( a , - a ^{2} + 4 )이다. (0<a<20 < a < 2) 따라서, 직사각형의 둘레는 2QR‾+2PQ‾=−2a2+8+4a\displaystyle \begin{aligned} {\mathrm{2} \overline{QR} + 2 \overline{PQ}} & = - 2 a ^{2} + 8 + 4 a \end{aligned}=−2a2+4a+8= - 2 a ^{2} + 4 a + 8=−2(a−1)2+10= - 2 ( a - 1 ) ^{2} + 10 ∴ a=1a = 1일 때, 둘레의 길이가 최대이므로 그 때, 직사각형의 넓이는 PQ‾×QR‾=2×3=6\displaystyle {\mathrm{\overline{PQ}} \times \overline{QR}} = 2 \times 3 = 6

태그

#이차함수#최대최소#중학

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