공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

필요충분조건 판정

문제

조건 pp 가 조건 qq 이기 위한 필요충분조건인 것만을 <보기> 에서 있는 대로 고른 것은? (단, x,y,zx , y , z 는 00 이 아닌 실수) [3점]

<보 기>
ㄱ.pp : x+y=xyx + y = xyqq : 1x+1y=1\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1
ㄴ.pp : 0<x<y0 < x < yqq : 0<1y<1x\displaystyle 0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}
ㄷ.pp : (x−y)(y−z)(z−x)=0( x - y ) ( y - z ) ( z - x ) = 0qq : x=y=zx = y = z

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 필요충분조건을 이해하여 추론하기 ㄱ. (⇒) x,yx , y 가 00 이 아니므로 양변을 xyxy 로 나누면 1x+1y=1\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1이다. (⇐)양변에 xyxy 를 곱하면 x+y=xyx + y = xy 이다. 따라서 pp 는 qq 이기 위한 필요충분조건이다. (참) ㄴ. (⇒) 0<x<y0 < x < y 이면 0<1y<1x\displaystyle 0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}이다. (⇐) 0<1y<1x\displaystyle 0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x} 이면 0<x<y0 < x < y이다. 따라서 pp 는 qq 이기 위한 필요충분조건이다. (참) ㄷ. (⇒) (반례) x=2,y=2,z=1x = 2 , y = 2 , z = 1 (⇐) x=y=zx = y = z이면 (x−y)(y−z)(z−x)=0( x - y ) ( y - z ) \left( z - x \right) = 0 따라서 pp 는 qq 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다. (거짓)

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