필요충분조건 절댓값

[출제의도] 절댓값이 있는 부등식의 해를 구하여 필요충분조건 문제를 해결한다. 조건 $p$에서 (ⅰ) $x \geq 2$일 때, $x - 2 \geq 0$이므로 $3 \left( x - 2 \right) < 9 - 2 x$ $5 x < 15$, $x < 3$ 따라서 부등식의 해는 $2 \leq x < 3$ (ⅱ) $x < 2$일 때, $x - 2 < 0$이므로 $- 3 \left( x - 2 \right) < 9 - 2 x$ $x > \mathit{-} 3$ 따라서 부등식의 해는 $- 3 < x < 2$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $- 3 < x < 3$ 이때 $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이므로 $a = \mathit{-} 3$, $b = 3$ 따라서 $b - a = 3 - \left( - 3 \right) = 6$ [다른 풀이] $0 \leq 3 \left| x - 2 \right| < 9 - 2 x$이므로 $- ( 9 - 2 x ) < 3 ( x - 2 ) < 9 - 2 x$이다. $- ( 9 - 2 x ) < 3 ( x - 2 )$에서 $x > \mathit{-} 3$이고, $3 ( x - 2 ) < 9 - 2 x$에서 $x < 3$ 따라서 부등식의 해는 $- 3 < x < 3$ 이때 $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이므로 $a = \mathit{-} 3$, $b = 3$ 따라서 $b - a = 3 - \left( - 3 \right) = 6$ [다른 풀이] $0 \leq 3 \left| x - 2 \right| < 9 - 2 x$ 이므로 양변을 제곱하여 정리하면 $\left( 3 \left| x - 2 \right| \right) ^{2} < \left( 9 - 2 x \right) ^{2}$, $9 \left( x - 2 \right) ^{2} < \left( 9 - 2 x \right) ^{2}$ $x ^{2} - 9 < 0$ 이때 $9 - 2 x > 0$이어야 하므로 부등식의 해는 $- 3 < x < 3$ 이때 $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건이므로 $a = \mathit{-} 3$, $b = 3$ 따라서 $b - a = 3 - \left( - 3 \right) = 6$