확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

프로펠러 색칠

문제

A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D 44가지 색의 일부 또는 전부를 사용하여 그림과 같은 프로펠러의 중앙 부분과 44개의 날개 부분을 모두 칠하려고 한다. 인접한 중앙 부분과 날개 부분은 서로 다른 색으로 칠하기로 할 때, 칠할 수 있는 방법의 수는? (단, 44개의 날개는 모두 합동이고, 회전하여 같은 경우에는 한 가지 방법으로 한다.) [4점]

①6060②7272③8484④9696⑤108108

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④

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해설

[출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 주어진 프로펠러를 칠하는데 사용된 색의 수로 구분한다. (i) 2가지 색이 사용된 경우 a,ba , b에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는 4P2=12{}_{4} \mathrm{P} _{2} = 12

(ii) 3가지 색이 사용된 경우 a,b,ca , b , c에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는 4P3+4P3×12+4P3×12=48\displaystyle {}_{4} \mathrm{P} _{3} + _{4} \mathrm{P} _{3} \times \frac{1}{2} + _{4} \mathrm{P} _{3} \times \frac{1}{2} = 48

(iii) 4가지 색이 모두 사용된 경우 a,b,c,da , b , c , d에 사용될 색을 택하여 칠하는 방법의 수는 4P4+4P4×12=36\displaystyle {}_{4} \mathrm{P} _{4} + _{4} \mathrm{P} _{4} \times \frac{1}{2} = 36

따라서 구하는 방법의 수는 12+48+36=9612 + 48 + 36 = 96 (가지)

태그

#원순열#색칠

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