외심과 내심의 각

점 ${\mathrm{O}}$가 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외심이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = {\overline{\mathrm{OC}}}$ 세 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$, ${\mathrm{OBC}}$, ${\mathrm{OCA}}$는 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{OBA}} = \mathit{\angle} {\mathrm{BAO}}$, $\angle {\mathrm{CBO}} = \mathit{\angle} {\mathrm{OCB}}$, $\angle {\mathrm{ACO}} = \mathit{\angle} {\mathrm{OAC}}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$인 이등변삼각형이므로 각 ${\mathrm{ACB}}$의 이등분선은 밑변 ${\mathrm{AB}}$를 수직이등분한다. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외심 ${\mathrm{O}}$는 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 점 ${\mathrm{O}}$는 각 ${\mathrm{ACB}}$의 이등분선 위에 있다. $\angle {\mathrm{ACO}} = \mathit{\angle} {\mathrm{OCB}}$ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 세 내각의 크기의 합은 $\angle {\mathrm{BAC}} \mathit{+} \angle {\mathrm{CBA}} \mathit{+} \angle {\mathrm{ACB}}$ $= \left( \angle {\mathrm{BAO}} \mathit{+} \angle {\mathrm{OAC}} \right) + \left( \angle {\mathrm{CBO}} \mathit{+} \angle {\mathrm{OBA}} \right)$$+ \left( \angle {\mathrm{ACO}} \mathit{+} \angle {\mathrm{OCB}} \right)$ $= 2 \times \angle {\mathrm{BAO}} \mathit{+} 4 \times \angle {\mathrm{OAC}}$ $= 2 \times 28 ^\circ + 4 \times \angle {\mathrm{OAC}}$ $= 180 ^\circ$ $\displaystyle \angle {\mathrm{OAC}} \frac{= \mathit{180 ^\circ - 56 ^\circ}}{4} = 31 ^\circ$ 삼각형 ${\mathrm{ACD}}$에서 각 ${\mathrm{C}}$의 외각 ${\mathrm{ACB}}$의 크기는 $\angle {\mathrm{ACB}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CAD}} \mathit{+} \angle {\mathrm{ADC}}$ $\angle {\mathrm{CAD}}$$= \angle {\mathrm{ACB}} \mathit{-} \angle {\mathrm{ADC}}$ $= 2 \times 31 ^\circ - 40 ^\circ = 22 ^\circ$ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 $\angle {\mathrm{CAI}} = \mathit{\angle} {\mathrm{IAD}}$ $\angle {\mathrm{CAD}}$$= 2 \times \angle {\mathrm{CAI}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \angle {\mathrm{CAD}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 22 ^\circ = 11 ^\circ$ $\angle {\mathrm{OAI}} = \mathit{\angle} {\mathrm{OAC}} \mathit{+} \angle {\mathrm{CAI}} = \mathit{31} ^\circ + 11 ^\circ = 42 ^\circ$ 따라서 $x = 42$