공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외심과 두 변 제곱 합

문제

좌표평면 위의 한 점 A\mathrm{A}(2,1)( 2 , 1 )을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외심은 변 BC\mathrm{BC}위에 있고 좌표가 (−1,−1)( - 1 , - 1 )일 때, AB‾2+AC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2}의 값은? [3점] ①5151②5252③5353④5454⑤5555

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②

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해설

[출제의도] 두 점 사이의 거리를 구하여 수학내적문제 해결하기 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외심을 O′\mathrm{O}'라 하면, 외심O′\mathrm{O}'에서 각 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 O′\mathrm{O}'는 변 BC\mathrm{BC}의 중점이다. 따라서 외심의 성질에 의해 삼각형 ABC\mathrm{ABC}는 변 BC\mathrm{BC}를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

그러므로 AB‾2+AC‾2=BC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} = {\overline{BC}} ^{2}이고 BC‾=2O′A‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2 \overline{O' A}이므로 BC‾2=4O′A‾2=4(32+22)=52\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = 4 {\overline{O' A}} ^{2} = 4 ( 3 ^{2} + 2 ^{2} ) = 52 ∴\therefore AB‾2+AC‾2=52\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2} = 52

태그

#두 점 사이 거리#외심

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