중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외접원과 각의 이등분선

문제

그림과 같이 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}와 이 삼각형의 외접원이 있다. 각 BAC{\mathrm{BAC}}의 이등분선과 이 원이 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 D{\mathrm{D}}라 하고, 직선 AD{\mathrm{AD}}가 선분 BC{\mathrm{BC}}와 만나는 점을 E{\mathrm{E}}라 하자. AB‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3, AC‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 5, AD‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 6일 때, 선분 DE{\mathrm{DE}}의 길이는? [4점]

①196\displaystyle \frac{19}{6}②103\displaystyle \frac{10}{3}③72\displaystyle \frac{7}{2}④113\displaystyle \frac{11}{3}⑤236\displaystyle \frac{23}{6}

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③

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해설

선분 AD{\mathrm{AD}}가 각 BAC{\mathrm{BAC}}를 이등분하므로 ∠BAD=∠DAC\angle {\mathrm{BAD}} = \mathit{\angle} {\mathrm{DAC}} 각 CBA{\mathrm{CBA}}와 각 CDA{\mathrm{CDA}}는 호 CA{\mathrm{CA}}에 대한 원주각이므로 ∠CBA=∠CDA\angle {\mathrm{CBA}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CDA}} 그러므로 두 삼각형 ABE{\mathrm{ABE}}, ADC{\mathrm{ADC}}는 서로 닮음이다. 선분 DE{\mathrm{DE}}의 길이를 xx라 하면 선분 AE{\mathrm{AE}}의 길이는 6−x6 - x AB‾:AD‾=AE‾:AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{AE}}} : {\overline{\mathrm{AC}}}에서 3:6=(6−x):53 : 6 = \left( 6 - x \right) : 5 6(6−x)=156 \left( 6 - x \right) = 15, 6−x=52\displaystyle 6 - x = \frac{5}{2} 따라서 x=72\displaystyle x = \frac{7}{2}

태그

#원주각#닮음#각의 이등분선

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