중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

외접원 둘레

문제

[11 ~ 12] 그림과 같이 이차함수 y=y =−x(x−6){{- x ( x - 6 )}}의 그래프가 xx축과 만나는 점 중 원점 O\mathrm{{O}}가 아닌 점을 A{{\mathrm{A}}}라 하고, 제11사분면에 있는 그래프 위의 점을 P{{\mathrm{P}}}라 하자. 1111번과 1212번의 두 물음에 답하시오.

∠OPA=90∘\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ일 때, 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 외접원의 둘레의 길이는? [3점] ①6π6 \pi②7π7 \pi③8π8 \pi④9π9 \pi⑤10π10 \pi

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①

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이해하여 원의 둘레를 구한다. ∠OPA=90∘\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ이므로 선분 OA\mathrm{OA}는 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 외접원의 지름이다. 즉, 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 외접원의 반지름의 길이는 33 따라서 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 외접원의 둘레의 길이는 2×π×3=6π2 \times \pi \times 3 = 6 \pi

[참고] ∠OPA=90∘\mathrm{\angle} OPA = 90 ^\circ인 직각삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 외접원의 중심을 C\mathrm{C}라 하면 원주각 ∠OPA\mathrm{\angle} OPA의 중심각은 ∠OCA\mathrm{\angle} OCA가 되므로 ∠OCA=2∠OPA=180∘\mathrm{\angle} OCA = 2 \angle OPA = 180 ^\circ 즉, 세 점 O\mathrm{O}, C\mathrm{C}, A\mathrm{A}는 한 직선 위에 있다. 또한 점 C\mathrm{C}가 직각삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 외접원의 중심이므로 CA‾=CO‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}} = {\overline{\mathrm{CO}}} 따라서 직각삼각형의 외접원의 중심 C\mathrm{C}는 선분 OA\mathrm{OA}의 중점이다.

태그

#외접원#원주각

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