외접하는 두 원 최솟값

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 활용한 수학 내적 문제 해결하기

두 원의 접점을 $\mathrm{T}$, 점 $\mathrm{P}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{H} _{2}$라 하고 원 $O _{1}$의 반지름의 길이를 $r$(단, $0 < r < 6$)라 하자. ∆$\mathrm{AH} _{2} P$$\backsim$∆$\mathrm{ABC}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH _{2}}} = \frac{4}{5} \mathit{r}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BH _{1}}} = \overline{PH _{2}} = \frac{4}{5} \mathit{r} ,$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \overline{BT} = 6 - \mathit{r}$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{\overline{QH _{1}}} & = \left| \overline{BH _{1}} - \overline{BQ} \right| \end{aligned}$ $\displaystyle \mathrm{=} \left| \frac{\mathit{4}}{5} r - ( 6 - r ) \right|$$\displaystyle \begin{aligned} & = \left| \frac{9}{5} r - 6 \right| \end{aligned}$ …… ㉠ ∆$\mathrm{PH} _{1} C$$\backsim$∆$\mathrm{ABC}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = 10 - \mathit{r}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH _{1}}} = \frac{\mathit{3}}{5} ( 10 - r )$ …… ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2} =$$\displaystyle {\overline{\mathrm{PH} _{1}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{QH} _{1}}} ^{2}$$\displaystyle = \left\{ \frac{3}{5} ( 10 - r ) \right\} ^{2} + \left( \frac{9}{5} r - 6 \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{18}{5} ( r ^{2} - 8 r + 20 )$$\displaystyle = \frac{18}{5} ( r - 4 ) ^{2} + \frac{72}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2}$은 $r = 4$일 때 최솟값 $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{72}{5}$ 따라서 $ab = 360$