넓이 비의 극한

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 $y = nx$, $\displaystyle y = \frac{n}{x}$의 그래프의 두 교점을 각각 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$, 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, 선분 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}$와 $y$축과의 교점을 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$이라 하자. 사다리꼴 $\mathrm{OD} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}$의 넓이를 $S _{n}$, 삼각형 $\mathrm{OB} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$의 넓이를 $T _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{T _{n} + n}{S _{n} + n + 1}}$의 값은? [4점]

$\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$ $\displaystyle y = \frac{n}{x}$ $y = nx$

①$\displaystyle \frac{2}{7}$②$\displaystyle \frac{3}{7}$③$\displaystyle \frac{4}{7}$④$\displaystyle \frac{5}{7}$⑤$\displaystyle \frac{6}{7}$