미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

넓이 비의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 좌표평면 위의 점 Pn(n,2n)\mathrm{P} _{n} ( n , 2 ^{n} )에서 xx축, yy축에 내린 수선의 발을 각각 Qn,Rn\mathrm{Q} _{n} , \mathrm{R} _{n}이라 하자. 원점 O\mathrm{O}와 점 A(0,1)\mathrm{A} ( 0 , 1 )에 대하여 사각형 AOQnPn\mathrm{A} OQ _{n} \mathrm{P} _{n}의 넓이를 SnS _{n}, 삼각형 APnRn\mathrm{A} P _{n} \mathrm{R} _{n}의 넓이를 TnT _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞TnSn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{T _{n}}{S _{n}}}의 값은? [3점] ①11②34\displaystyle \frac{3}{4}③12\displaystyle \frac{1}{2}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤00

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①

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해설

그림에서 △APnRn\triangle \mathrm{A} P _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}의 넓이 Tn=12(2n−1)×n\displaystyle \mathrm{T} _{\mathit{n}} = \frac{\mathit{1}}{2} ( 2 ^{n} - 1 ) \times n 사각형 AOQnPn\mathrm{A} OQ _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}의 넓이 Sn=1+2n2×n\displaystyle \mathrm{S} _{\mathit{n}} = \frac{\mathit{1 + 2 ^{n}}}{2} \times n ∴lim⁡n→∞TnSn=lim⁡n→∞2n−11+2n=1\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\mathrm{T} _{\mathit{n}}}{\mathrm{S} _{\mathit{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 ^{n} - 1}{1 + 2 ^{n}} = 1

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