중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

네 점이 한 원 위에 있음 증명

문제

중심이 O\mathrm{O}인 원에 평행인 임의의 두 현 AB\mathrm{AB}, CD\mathrm{CD}가 있다. AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 중점을 P\mathrm{P}, 원과 직선 PC\mathrm{PC}의 교점을 Q\mathrm{Q}라고 하자. 점 A\mathrm{A} 를 포함하지 않는 호 BD\mathrm{BD} 위의 임의의 점 R\mathrm{R}에 대하여, QR‾\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}과 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 교점을 S\mathrm{S}라고 할 때, 다음은 네 점 P,D,R,S\mathrm{P} , D , R , S가 같은 원 위의 점임을 증명한 것이다.

<증명> 점 P\mathrm{P} 를 지나는 지름 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}를 그을 때, 점 P\mathrm{P}는 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 중점이므로 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}와 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}는 수직이다. AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}와 CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}는 평행이므로 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}는 CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}를 수직이등분한다. ∴PC‾=\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} =(가)Q\mathrm{Q}
또한, ∠PDC=∠SPD\mathrm{\angle PDC} = {\angle SPD}(∵엇각) 따라서 ∠PCD=\mathrm{\angle} PCD =(나) 그런데 ∠PCD+∠SRD=\mathrm{\angle} PCD + \angle SRD =(다) ∠SPD+∠SRD=\mathrm{\angle} SPD + \angle SRD =(다) 그러므로 네 점 P,D,R,S\mathrm{P} , D , R , S는 같은 원 위의 점이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①PR‾\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} ∠CPD\mathrm{\angle} CPD 240∘240 ^\circ②PR‾\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} ∠SPD\mathrm{\angle} SPD 180∘180 ^\circ③PD‾\displaystyle \mathrm{\overline{PD}} ∠SPD\mathrm{\angle} SPD 240∘240 ^\circ④PD‾\displaystyle \mathrm{\overline{PD}} ∠SPD\mathrm{\angle} SPD 180∘180 ^\circ⑤PD‾\displaystyle \mathrm{\overline{PD}} ∠CPD\mathrm{\angle} CPD 240∘240 ^\circ

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④

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해설

[출제의도] 네 점이 한 원 위에 있을 조건증명하기 (증명)

점 P\mathrm{P}를 지나는 지름 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}를 그을 때, 점 P\mathrm{P}는 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 중점이므로 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}와 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}는 수직이다. AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}와 CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}는 평행이므로 EF‾\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}는 CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}를 수직이등분한다. ∴PC‾=PD‾\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = \overline{PD}, ∠PCD=∠PDC\mathrm{\angle} PCD = \angle PDC 또한, ∠PDC=∠SPD\mathrm{\angle} PDC = \angle SPD(∵엇각) 따라서 ∠PCD=∠SPD\mathrm{\angle} PCD = \angle SPD 이다. ∠PCD+∠SRD=180∘\mathrm{\angle} PCD + \angle SRD = 180 ^{\circ} 이므로, ∠SPD+∠SRD=180∘\mathrm{\angle} SPD + \angle SRD = 180 ^{\circ} 그러므로 네 점 P,D,R,S\mathrm{P} , D , R , S는 같은 원 위의 점이다.

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#원주각#증명#빈칸#중학

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