네 자리 수 확률

[출제의도] 중복순열의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있는가? 숫자 $1 , 2 , 3 , 4 , 5$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수의 개수는 $\displaystyle {} _{5} \prod _{4} = 5 ^{4}$ 이 중에서 $3500$보다 큰 경우는 다음과 같다. (ⅰ) 천의 자리의 숫자가 $3$, 백의 자리의 숫자가 $5$인 경우 십의자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{5} \prod _{2} = 5 ^{2}$ (ⅱ) 천의 자리의 숫자가 $4$ 또는 $5$인 경우 천의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 $2$ 이 각각에 대하여 나머지 세 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{5} \prod _{3} = 5 ^{3}$ 이므로 이 경우의 수는 $2 \times 5 ^{3}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $3500$보다 큰 자연수의 개수는 $5 ^{2} + 2 \times 5 ^{3}$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{5 ^{2} + 2 \times 5 ^{3}}{5 ^{4}} = \frac{11}{25}$