나머지 연산 보기

[출제의도] 이항 연산의 성질과 역원에 대하여 알고 있는가를 묻는 문제이다. 집합 $A = \{ 0 , 1 , 2 , 3 \}$의 임의의 두 원소 $a , b$에 대하여 $a \triangle b$를 표로 나타내면 아래와 같다.

ㄱ. (참) 집합 $A = \{ 0 , 1 , 2 , 3 \}$의 임의의 두 원소 $a , b$에 대하여 $a \triangle b =$($ab$를 $4$로 나눈 나머지) $b \triangle a =$($ba$를 $4$로 나눈 나머지) 그런데 실수의 성질에 의해 $ab = ba$이므로 $ab$를 $4$로 나눈 나머지와 $ba$를 $4$로 나눈 나머지는 같다. ∴ 교환법칙이 성립한다. ㄴ. (거짓) 항등원을 $e$라 하면 집합 $A = \{ 0 , 1 , 2 , 3 \}$의 임의의 원소 $a$에 대하여 다음이 성립한다. $a \triangle e = a$ 그런데 $ae$를 $4$로 나눈 나머지가 항상 $a$가 되려면 $e = 1$이어야 한다. ∴ 연산 △에 대한 항등원은 $1$이다. ㄷ. (참) $3$의 역원을 $x$라 하면 항등원은 $1$이므로 $3 \triangle x = 1$이다. 그런데 $3 \triangle 3 =$($3 \times 3$를 $4$로 나눈 나머지) 이므로 $3 \times 3 = 9$이고 $9$를 $4$로 나눈 나머지는 $1$이다. 그러므로 $3 \triangle 3 = 1$에서 $x = 3$이다. ∴ $3$의 역원은 $3$이다. 이상에서 ㄱ과 ㄷ이 참이다. [다른 풀이] ㄱ. 표에서 연산의 결과가 대각선을 기준으로 서로 대칭이므로 교환법칙이 성립함을 알 수 있다.