내심과 평행선 보기

[출제의도] 삼각형의 내심의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 참, 거짓을 추론한다.

ㄱ. 직선 $\mathrm{DE}$와 직선 $\mathrm{BC}$가 평행하므로 $\mathrm{\angle} IBC = \angle BID$ (엇각) 점 $\mathrm{I}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 $\mathrm{\angle} IBC = \angle IBD$가 되어 $\mathrm{\angle} BID = \angle IBD$ (참)

ㄴ. $\mathrm{\angle} BID = \angle IBD$이므로 삼각형 $\mathrm{DBI}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{DB}} = \overline{DI}$인 이등변삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle \mathrm{=} \mathrm{\overline{AD}} + {\overline{DB}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AD}} + {\overline{DI}}$ 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = \mathrm{\overline{IE}} + {\overline{EA}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \mathrm{\overline{DI}} + {\overline{IE}}$이므로 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} + {\overline{DE}} + {\overline{EA}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AD}} + \left( {\overline{DI}} + {\overline{IE}} \right) + {\overline{EA}}$ $\displaystyle \mathrm{=} \left( {\overline{AD}} + {\overline{DI}} \right) + \left( {\overline{IE}} + {\overline{EA}} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AB}} + {\overline{CA}}$ 점 $\mathrm{I}$에서 세 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$라 하면 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$$\displaystyle = \sqrt{3 ^{2} - 1 ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RA}}$는 점 $\mathrm{A}$에서 내접원에 그은 접선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = {\overline{RA}}$ 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = {\overline{BQ}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QC}} = {\overline{CR}}$ $\triangle \mathrm{ABC}$$= \mathrm{\triangle} ABI + \triangle BCI + \triangle CAI$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times 1 + \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times 1 + \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{CA}} \times 1$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{AB}} + {\overline{BC}} + {\overline{CA}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{AP}} + \mathrm{\overline{PB}} + {\overline{BQ}} + \mathrm{\overline{QC}} + {\overline{CR}} + \mathrm{\overline{RA}} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \left( 4 \sqrt{2} + 2 {\overline{PB}} + 2 {\overline{CR}} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} 2 \sqrt{2} + {\overline{PB}} + {\overline{CR}}$ $\displaystyle = 5 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} + {\overline{CR}} = 3 \sqrt{2}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{ADE}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} + {\overline{DE}} + {\overline{EA}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AB}} + {\overline{CA}}$ $\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AP}} + {\overline{PB}} + {\overline{CR}} + {\overline{RA}}$ $\displaystyle \mathrm{=} 4 \sqrt{2} + {\overline{PB}} + {\overline{CR}}$ $\displaystyle = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle = 7 \sqrt{2}$ (참)

ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = {\overline{BQ}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QC}} = {\overline{CR}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BQ}} + {\overline{QC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PB}} + {\overline{CR}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times \mathrm{\overline{AH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{2} \times \mathrm{\overline{AH}}$$\displaystyle = 5 \sqrt{2}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \frac{10}{3}$ 직선 $\mathrm{DE}$와 선분 $\mathrm{AH}$가 만나는 점을 $\mathrm{S}$라 하면 $\mathrm{\angle} BQI = \angle BHA = 90 ^\circ$이므로 두 직선 $\mathrm{IQ}$와 $\mathrm{AH}$는 서로 평행하다. 직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $\mathrm{DE}$가 평행하므로 사각형 $\mathrm{IQHS}$가 평행사변형이 되어 $\displaystyle \mathrm{\overline{SH}} = {\overline{IQ}} = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AS}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AH}} - \mathrm{\overline{SH}}$$\displaystyle = \frac{10}{3} - 1$$\displaystyle = \frac{7}{3}$ $\mathrm{\angle} BAC$는 공통, $\mathrm{\angle} ADE = \angle ABC$ (동위각) 이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{ADE}$는 서로 닮은 도형이고 닮음비는 $\displaystyle \frac{10}{3} : \frac{7}{3} = 10 : 7$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}$$\displaystyle = \frac{7}{10} \times \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \frac{7}{10} \times 3 \sqrt{2}$$\displaystyle = \frac{21}{10} \sqrt{2}$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.