내심과 넓이

[출제의도] 삼각형의 내심의 성질을 이해하고 조건을 만족시키는 값을 구한다.

삼각형 $\mathrm{A} BC$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$라 하면 삼각형 $\mathrm{A} BC$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{A} B} \times \overline{\mathrm{A} C}$$\displaystyle = \frac{1}{2} r ( \overline{\mathrm{A} B} + \overline{\mathrm{B} C} + \overline{\mathrm{C} A} )$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 24 = \frac{1}{2} r ( 10 + 26 + 24 )$ $r = 4$ 점 $\mathrm{I}$에서 변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 하면 두 삼각형 $\mathrm{B} IH$와 $\mathrm{B} IJ$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{I} H} = \overline{\mathrm{I} J}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{B} I}$는 공통, $\mathrm{\angle} H = \angle J = 90 ^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{B} IH \equiv \triangle \mathrm{B} IJ$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B} H}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{B} J}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A} B} - \overline{\mathrm{A} J}$$= 10 - 4$$= 6$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B} M}$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{B}} C}$$= 13$ $\displaystyle \overline{\mathrm{M} H}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{B} M} - \overline{\mathrm{B} H}$$= 13 - 6$$= 7$ 따라서 삼각형 $\mathrm{IHM}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{M} H} \times \overline{\mathrm{I} H}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 7 \times 4$$= 14$ [다른 풀이] 위의 풀이에서 $r = 4$이고 $\triangle \mathrm{B} IH \equiv \triangle \mathrm{B} IJ$ $\displaystyle \overline{\mathrm{J} B}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{A} B} - \overline{\mathrm{A} J}$$= 10 - 4$$= 6$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{BIJ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{JB}}} \times {\overline{\mathrm{IJ}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6 \times 4$$= 12$ 따라서 삼각형 $\mathrm{IHM}$의 넓이는 $\triangle \mathrm{BIM} - \triangle \mathrm{BIH}$$= \triangle \mathrm{BIM} - \triangle \mathrm{BIJ}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 13 \times 4 - 12$$= 14$ [다른 풀이]

위의 풀이에서 $r = 4$ 점 $\mathrm{I}$에서 변 $\mathrm{AB}$, 변 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 각각$\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$라 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{H} M} = x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} J} =$$\displaystyle \overline{\mathrm{A} \mathrm{K}} = 4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} K} = 20$, $\displaystyle \overline{\mathrm{C} H} = 13 + x$ $\displaystyle \overline{\mathrm{C} K} = \overline{\mathrm{C} H}$이므로 $20 = 13 + x$에서 $x = 7$ 따라서 삼각형 $\mathrm{IHM}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{M} H} \times \overline{\mathrm{I} H}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 7 \times 4$$= 14$