내심과 둘레

점 ${\mathrm{I}}$에서 선분 ${\mathrm{AB}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{E}}$라 하자. 두 삼각형 ${\mathrm{IAE}}$, ${\mathrm{IAD}}$에서 선분 ${\mathrm{IA}}$는 공통이고, $\angle {\mathrm{IEA}} = \angle {\mathrm{IDA}} = 90 ^\circ$, $\angle {\mathrm{EAI}} = \angle {\mathrm{DAI}}$이므로 두 삼각형 ${\mathrm{IAE}}$, ${\mathrm{IAD}}$는 서로 합동이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} = 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} - {\overline{\mathrm{AE}}} = 7 - 2 = 5$ 점 ${\mathrm{I}}$에서 선분 ${\mathrm{BC}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{F}}$라 하면 같은 방법으로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{\mathrm{BE}}} = 5$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = x$라 하면 같은 방법으로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CF}}} = x$ $\angle {\mathrm{AIE}} = \angle {\mathrm{AID}}$, $\angle {\mathrm{BIF}} = \angle {\mathrm{BIE}}$, $\angle {\mathrm{CID}} = \angle {\mathrm{CIF}}$이고 $\angle {\mathrm{AIB}} = \angle {\mathrm{AIE}} + \angle {\mathrm{BIE}} = 120 ^\circ$이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{CID}} = \frac{1}{2} \times \left\{ 360 ^\circ - 2 \times \left( \angle {\mathrm{AIE}} + \angle {\mathrm{BIE}} \right) \right\} = 60 ^\circ$ $\angle {\mathrm{IDC}} = 90 ^\circ$이므로 $\angle {\mathrm{DCI}} = 90 ^\circ - \angle {\mathrm{CID}} = 30 ^\circ$ 직각삼각형 ${\mathrm{ICD}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DI}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} \times \tan 30 ^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 즉, 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 내접원의 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} x$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\triangle {\mathrm{ABC}}$$= \triangle {\mathrm{IAB}} + \triangle {\mathrm{IBC}} + \triangle {\mathrm{ICA}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{BC}}} + {\overline{\mathrm{CA}}} \right) \times \frac{\sqrt{3}}{3} x$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left\{ 7 + \left( 5 + x \right) + \left( x + 2 \right) \right\} \times \frac{\sqrt{3}}{3} x$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3} x \left( x + 7 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\angle {\mathrm{ACB}} = \angle {\mathrm{DCF}} = 2 \times \angle {\mathrm{DCI}} = 60 ^\circ$이므로 $\triangle {\mathrm{ABC}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{CA}}} \times \sin 60 ^\circ$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 5 + x \right) \times \left( x + 2 \right) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( x + 2 \right) \left( x + 5 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} x \left( x + 7 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( x + 2 \right) \left( x + 5 \right)$ $4 x ^{2} + 28 x = 3 x ^{2} + 21 x + 30$ $x ^{2} + 7 x - 30 = 0$ $\left( x - 3 \right) \left( x + 10 \right) = 0$ $x = 3 \left( x > 0 \right)$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{BC}}} + {\overline{\mathrm{CA}}} = 7 + \left( 5 + 3 \right) + \left( 3 + 2 \right) = 20$