미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접원 수열 극한

문제

자연수 nn에 대하여 그림과 같이 두 점 An(n,0)\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , 0 \right), Bn(0,n+1)\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathit{\left( 0 , \mathit{n} + 1 \right)}이 있다. 삼각형 OAnBn\mathrm{OA} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}에 내접하는 원의 중심을 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}이라 하고, 두 점 Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}과 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}을 지나는 직선이 xx축과 만나는 점을 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}이라 하자. lim⁡n→∞OPn‾n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}}}{n}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①2−12\displaystyle \frac{\sqrt{2} - 1}{2}②2−1\displaystyle \sqrt{2} - 1③2−2\displaystyle 2 - \sqrt{2}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤22−2\displaystyle {2 \sqrt{2} - 2}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 삼각형 OAnBn{\mathrm{OA}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}에 내접하는 원의 중심을 Cn(rn,rn)\mathrm{C} _{\mathit{n}} ( \mathit{r} _{n} , r _{n} )이라 하고 내접하는 원이 삼각형 OAnBn\mathrm{OA} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}의 세 변과 만나는 점을 각각 Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}}, En\mathrm{E} _{\mathit{n}}, Fn\mathrm{F} _{\mathit{n}}이라 하자. △BnFnCn∽△BnOPn\triangle \mathrm{B} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} \backsim \triangle \mathrm{B} _{\mathit{n}} OP _{\mathit{n}} BnFn‾:BnO‾=FnCn‾:OPn‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}} : \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} O} = \overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}} : \overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}} n+1−rn:n+1=rn:OPn‾\displaystyle n + 1 - r _{n} : n + 1 = r _{n} : \overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}} OPn‾=(n+1)rnn+1−rn\displaystyle \overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}} = \frac{( n + 1 ) r _{n}}{n + 1 - r _{n}} ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} BnFn‾=BnEn‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} = {\overline{B _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}}}, DnAn‾=EnAn‾\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}}} = {\overline{E _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}}}이고 BnEn‾+EnAn‾=BnAn‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}}}} + {\overline{E _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}}} = {\overline{B _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}}}이므로 (n+1−rn)+(n−rn)=2n2+2n+1\displaystyle ( n + 1 - r _{n} ) + ( n - r _{n} ) = \sqrt{2 n ^{2} + 2 n + 1} rn=12(2n+1−2n2+2n+1)\displaystyle r _{n} = \frac{1}{2} \left( 2 n + 1 - \sqrt{2 n ^{2} + 2 n + 1} \right) ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡} ㉡\text{㉡}을 ㉠\text{㉠}에 대입하여 계산하면 OPn‾=(n+1)(2n+1−2n2+2n+1)1+2n2+2n+1\displaystyle \overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}} = \frac{\left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 - \sqrt{2 n ^{2} + 2 n + 1} \right)}{1 + \sqrt{2 n ^{2} + 2 n + 1}} lim⁡n→∞OPn‾n=lim⁡n→∞(n+1)(2n+1−2n2+2n+1)n(1+2n2+2n+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( n + 1 ) \left( 2 n + 1 - \sqrt{2 n ^{2} + 2 n + 1} \right)}{n \left( 1 + \sqrt{2 n ^{2} + 2 n + 1} \right)}} =2−22=2−1\displaystyle = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1

태그

#수열의 극한#내접원

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로