내접 사각형 대각선

[출제의도] 피타고라스의 정리와 원의 성질을 이해하고, 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QA}} \mathit{^{2}} + \mathrm{\overline{QB}} \mathit{^{2}} = \mathrm{\overline{AB}} \mathit{^{2}} = ( 2 \sqrt{5} ) ^{2} = 20$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QA}} = \overline{QB} = \sqrt{10}$ 사각형 $\mathrm{AQBP}$의 넓이는 두 삼각형 $\mathrm{PAB}$, $\mathrm{QBA}$의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 2 + \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 9$ 또 $\mathrm{\angle} APQ = \angle BPQ = 45 ^\circ$이고, 사각형의 넓이는 두 삼각형 $\mathrm{PAQ}$, $\mathrm{PBQ}$의 넓이의 합과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{x}$라 하면 다음이 성립한다. $\displaystyle 9 = \frac{1}{2} ( 4 x \sin 45 ^\circ + 2 x \sin 45 ^\circ )$ $\displaystyle 9 = \frac{1}{2} \left( 4 x \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 x \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x$ 이것을 풀면 $\displaystyle x = 3 \sqrt{2} ( \mathrm{cm} )$