미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

na_n 극한 이용

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}limnnan=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n a _{n} = 3을 만족할 때, limn2n2+3nn3an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + 3 n}{n ^{3} a _{n}}} 의 값은? [3점] 13\displaystyle \frac{1}{3}23\displaystyle \frac{2}{3}1132\displaystyle \frac{3}{2}33

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해설

limn2n2+3nn3an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + 3 n}{n ^{3} a _{n}}}=limn2n2+3nn2limn1nan\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + 3 n}{n ^{2}} \cdot \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n a _{n}}}} =213=23\displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

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