미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리식이 포함된 곱의 극한

문제

limx{(x4+2x3+1x2)(x2+6x)}\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \sqrt{x ^{4} + 2 x ^{3} + 1} - x ^{2} \right) \left( \sqrt{x ^{2} + 6} - x \right) \right\}}의 값은? 1122334455

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해설

limx{(x4+2x3+1x2)(x2+6x)}\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \sqrt{x ^{4} + 2 x ^{3} + 1} - x ^{2} \right) \left( \sqrt{x ^{2} + 6} - x \right) \right\}} ==limx{2x3+1x4+2x3+1+x26x2+6+x}\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{2 x ^{3} + 1}{\sqrt{x ^{4} + 2 x ^{3} + 1} + x ^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{x ^{2} + 6} + x} \right\}} =limx{2+1x31+2x2+1x4+161+6x2+1}\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{2 + \frac{1}{x ^{3}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{4}}} + 1} \cdot \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x ^{2}}} + 1} \right\}} =2+01+0+0+161+0+1\displaystyle = \frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} \cdot \frac{6}{\sqrt{1 + 0} + 1}=3= 3

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