미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

무리식 수열의 극한

문제

limn(4n2+3n4n2+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{4 n ^{2} + 3 n} - \sqrt{4 n ^{2} + 1} \right)}의 값은? [2점] 12\displaystyle \frac{1}{2}34\displaystyle \frac{3}{4}1154\displaystyle \frac{5}{4}32\displaystyle \frac{3}{2}

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해설

[출제의도] 수열의 극한 계산하기 limn(4n2+3n4n2+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{4 n ^{2} + 3 n} - \sqrt{4 n ^{2} + 1} \right)} =limn3n14n2+3n+4n2+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n - 1}{\sqrt{4 n ^{2} + 3 n} + \sqrt{4 n ^{2} + 1}}} =limn31n4+3n+4+1n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 - \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{3}{n}} + \sqrt{4 + \frac{1}{n ^{2}}}}} =32+2=34\displaystyle = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}

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