무리식 수열의 극한

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해하여 미지수를 구한다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{an ^{2} + n} - \sqrt{an ^{2} - an} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( an ^{2} + n \right) - \left( an ^{2} - an \right)}{\sqrt{an ^{2} + n} + \sqrt{an ^{2} - an}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( a + 1 \right) n}{\sqrt{an ^{2} + n} + \sqrt{an ^{2} - an}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a + 1}{\sqrt{a + \frac{1}{n}} + \sqrt{a - \frac{a}{n}}}}$$\displaystyle = \frac{a + 1}{2 \sqrt{a}}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{an ^{2} + n} - \sqrt{an ^{2} - an} \right)}$$\displaystyle = \frac{5}{4}$에서 $\displaystyle \frac{a + 1}{2 \sqrt{a}}$$\displaystyle = \frac{5}{4}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $4 a ^{2} - 17 a + 4$$= 0$, $\left( 4 a - 1 \right) \left( a - 4 \right)$$= 0$, $a$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ 또는 $a$$= 4$ 따라서 모든 양수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{1}{4} + 4$$\displaystyle = \frac{17}{4}$