무리식 수열의 극한

$\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{an ^{b}}{\sqrt{n ^{4} + 4 n} - \sqrt{n ^{4} + n}} = 6$에서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{an ^{b}}{\sqrt{n ^{4} + 4 n} - \sqrt{n ^{4} + n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{an ^{b} \left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} + \sqrt{n ^{4} + n} \right)}{\left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} - \sqrt{n ^{4} + n} \right) \left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} + \sqrt{n ^{4} + n} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{an ^{b} \left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} + \sqrt{n ^{4} + n} \right)}{\left( n ^{4} + 4 n \right) - \left( n ^{4} + n \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{an ^{b} \left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} + \sqrt{n ^{4} + n} \right)}{3 n}$ 이고 극한값이 존재하므로 분자와 분모의 차수가 같아야 한다. 즉 $b + 2 = 1$에서 $b = - 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{an ^{b} \left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} + \sqrt{n ^{4} + n} \right)}{3 n}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a \left( \sqrt{n ^{4} + 4 n} + \sqrt{n ^{4} + n} \right)}{3 n ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a \left( \sqrt{1 + \frac{4}{n ^{3}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n ^{3}}} \right)}{3}$ $\displaystyle = \frac{2 a}{3}$ 따라서 $\displaystyle \frac{2 a}{3} = 6$이므로 $a = 9$ $\therefore$ $a + b = 9 + \left( - 1 \right) = 8$