미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

무리식 수열 극한

문제

lim⁡n→∞an(1+1n−1)=4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1 \right)} = 4를 만족시키는 실수 aa의 값은? [2점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

주어진 식의 분모, 분자에 1+1n+1\displaystyle \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1을 곱하면 lim⁡n→∞an(1+1n−1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1 \right)} =lim⁡n→∞{a×(1+1n+1)n(1+1n−1)×(1+1n+1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{a \times \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right)}{n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1 \right) \times \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right)} \right\}} =lim⁡n→∞a(1+1n+1)n{(1+1n)−1}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right)}{n \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) - 1 \right\}} =lim⁡n→∞a(1+1n+1)n×1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right)}{n \times \frac{1}{n}} =lim⁡n→∞a(1+1n+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right) =2a= 2 a 2a=42 a = 4이므로 a=2a = 2

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