미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

무리식 수열 극한

문제

lim⁡n→∞1an2+bn−n2−1=4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\sqrt{an ^{2} + bn} - \sqrt{n ^{2} - 1}} = 4}일 때, abab의 값은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [2점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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②

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해설

lim⁡n→∞1an2+bn−n2−1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\sqrt{an ^{2} + bn} - \sqrt{n ^{2} - 1}}}=lim⁡n→∞an2+bn+n2−1(a−1)n2+bn+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{an ^{2} + bn} + \sqrt{n ^{2} - 1}}{\left( a - 1 \right) n ^{2} + bn + 1} =lim⁡n→∞a+bn+1−1n2(a−1)n+b+1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a + \frac{b}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n ^{2}}}}{\left( a - 1 \right) n + b + \frac{1}{n}} 위의 값이 수렴하려면 a−1=0a - 1 = 0, 즉 a=1a = 1이고 이때 수렴하는 값은 a+1b=2b\displaystyle \frac{a + 1}{b} = \frac{2}{b}이므로 2b=4\displaystyle \frac{2}{b} = 4에서 b=12\displaystyle b = \frac{1}{2} ∴\thereforeab=12\displaystyle ab = \frac{1}{2}

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