미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리식 극한

문제

※ 그림과 같이 두 함수 $\displaystyle y = 3 \sqrt{x}$ , $\displaystyle y = \sqrt{x}$ 의 그래프와 직선 $x = k$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 직선 $x = k$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 다음의 두 물음에 답하시오. (단, $k > 0$ 이고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

$\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow + 0} {\frac{\mathrm{\overline{OA}} - \overline{AC}}{\mathrm{\overline{OB}} - \overline{BC}}}$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{5}$ ② $\displaystyle \frac{1}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ⑤ $1$

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③

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[출제의도] 함수의 극한 이해하기 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow + 0} {\frac{\mathrm{\overline{OA}} - \overline{AC}}{\mathrm{\overline{OB}} - \overline{BC}}} = \lim\limits _{k \rightarrow + 0} {\frac{\sqrt{k ^{2} + 9 k} - 3 \sqrt{k}}{\sqrt{k ^{2} + k} - \sqrt{k}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{k \rightarrow + 0} {\frac{\sqrt{k + 9} - 3}{\sqrt{k + 1} - 1}} = \lim\limits _{k \rightarrow + 0} {\frac{k ( \sqrt{k + 1} + 1 )}{k ( \sqrt{k + 9} + 3 )}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{k \rightarrow + 0} {\frac{\sqrt{k + 1} + 1}{\sqrt{k + 9} + 3}} = \frac{1}{3}$

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