미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

무리식 차의 극한

문제

lim⁡n→∞(an2+bn−2n2+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \sqrt{an ^{2} + bn} - \sqrt{2 n ^{2} + 1} \right)=1= 1일 때, abab의 값은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [2점] ①2\displaystyle \sqrt{2}②22③22\displaystyle 2 \sqrt{2}④44⑤42\displaystyle 4 \sqrt{2}

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⑤

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해설

lim⁡n→∞(an2+bn−2n2+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( \sqrt{an ^{2} + bn} - \sqrt{2 n ^{2} + 1} )} =lim⁡n→∞(a−2)n2+bn−1an2+bn+2n2+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( a - 2 ) n ^{2} + bn - 1}{\sqrt{an ^{2} + bn} + \sqrt{2 n ^{2} + 1}}} =lim⁡n→∞(a−2)n+b−1na+bn+2+1n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{( a - 2 ) n + b - \frac{1}{n}}{\sqrt{a + \frac{b}{n}} + \sqrt{2 + \frac{1}{n ^{2}}}}} 이때 극한값이 존재하므로 a=2a = 2 따라서 lim⁡n→∞b2+2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b}{\sqrt{2} + \sqrt{2}}}=b22\displaystyle = \frac{b}{2 \sqrt{2}}=1= 1 ∴\therefore b=22\displaystyle b = 2 \sqrt{2}

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