미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리함수 선분 길이 극한

문제

그림과 같이 자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 두 곡선 y=5x+4\displaystyle y = \sqrt{5 x + 4}, y=2x−1\displaystyle y = \sqrt{2 x - 1}과 만나는 점을 각각 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}, Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}이라 하자. 선분 OAn\mathrm{OA} _{\mathit{n}}의 길이를 ana _{n}, 선분 OBn\mathrm{OB} _{\mathit{n}}의 길이를 bnb _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞12an−bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{12}{a _{n} - b _{n}}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①44②66③88④1010⑤1212

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 An(n,5n+4)\displaystyle \mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , \sqrt{5 n + 4} \right), Bn(n,2n−1)\displaystyle \mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , \sqrt{2 n - 1} \right)이므로 an=n2+5n+4\displaystyle a _{n} = \sqrt{n ^{2} + 5 n + 4}, bn=n2+2n−1\displaystyle b _{n} = \sqrt{n ^{2} + 2 n - 1} lim⁡n→∞12an−bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{12}{a _{n} - b _{n}}}=lim⁡n→∞12n2+5n+4−n2+2n−1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{12}{\sqrt{n ^{2} + 5 n + 4} - \sqrt{n ^{2} + 2 n - 1} _{{}_{}}} =lim⁡n→∞12(n2+5n+4+n2+2n−1)3n+5\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{12 \left( \sqrt{n ^{2} + 5 n + 4} + \sqrt{n ^{2} + 2 n - 1} \right)}{{3 n + 5} ^{}} =lim⁡n→∞12(1+5n+4n2+1+2n−1n2)3+5n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{12 \left( \sqrt{1 + \frac{5}{n} + \frac{4}{n ^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}}} \right)}{{3 + \frac{5}{n}} ^{}} =12×(1+1)3=8\displaystyle = \frac{12 \times \left( 1 + 1 \right)}{3} = 8

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#수열의 극한#무리식

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