미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

무리함수 삼각형 넓이 극한

문제

자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 두 곡선 y=3x\displaystyle y = \sqrt{3 x}, y=x\displaystyle y = \sqrt{x}와 만나는 점을 각각 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}, Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}이라 하고 삼각형 AnBnBn+1\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}의 넓이를 SnS _{\mathit{n}}이라 하자. lim⁡n→∞n(Sn+1−Sn)=a+b3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( S _{n + 1} - S _{n} \right)} = a + b \sqrt{3}일 때, 40(a2+b2)40 \left( a ^{2} + b ^{2} \right)의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 유리수이다.) [4점]

x=n+1x = n + 1 y=x\displaystyle y = \sqrt{x} y=3x\displaystyle y = \sqrt{3 x} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} SnS _{\mathit{n}}

정답 보기
5

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 점 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}(n,3n)\displaystyle \left( n , \sqrt{3 n} \right), Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}(n,n)\displaystyle \left( n , \sqrt{n} \right)이므로 AnBn‾=3n−n=n(3−1)\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}} _{\mathit{}} = \mathit{\sqrt{3 n}} - \sqrt{n} = \sqrt{n} \left( \sqrt{3} - 1 \right) Sn=n(3−1)2\displaystyle S _{\mathit{n}} = \frac{\sqrt{n} \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2} lim⁡n→∞n(Sn+1−Sn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( S _{n + 1} - S _{n} \right)} =lim⁡n→∞n(3−12)(n+1−n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{n} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) \left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right)} =lim⁡n→∞(3−12)nn+1+n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) {\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}}}=3−14\displaystyle = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} 이므로 a=−14\displaystyle a = - \frac{1}{4}, b=14\displaystyle b = \frac{1}{4} 따라서 40(a2+b2)=540 \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 5

태그

#수열의 극한#무리식#유리화

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로