lim x → ∞ ( x 2 + a x + 1 − x + b ) \displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \left( \sqrt{x ^{2} + ax + 1} - x + b \right) x → ∞ lim ( x 2 + a x + 1 − x + b ) = lim x → ∞ x 2 + a x + 1 − ( x 2 − 2 b x + b 2 ) x 2 + a x + 1 + ( x − b ) \displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2} + ax + 1 - ( x ^{2} - 2 bx + b ^{2} )}{\sqrt{x ^{2} + ax + 1} + ( x - b )}} = x → ∞ lim x 2 + a x + 1 + ( x − b ) x 2 + a x + 1 − ( x 2 − 2 b x + b 2 ) = lim x → ∞ ( a + 2 b ) x + ( 1 − b 2 ) x 2 + a x + 1 + x − b \displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{( a + 2 b ) x + ( 1 - b ^{2} )}{\sqrt{x ^{2} + ax + 1} + x - b} = x → ∞ lim x 2 + a x + 1 + x − b ( a + 2 b ) x + ( 1 − b 2 ) = lim x → ∞ a + 2 b + 1 − b 2 x 1 + a x + 1 x 2 + 1 − b x \displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{a + 2 b + \frac{1 - b ^{2}}{x}}{\sqrt{1 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x ^{2}}} + 1 - \frac{b}{x}} = x → ∞ lim 1 + x a + x 2 1 + 1 − x b a + 2 b + x 1 − b 2 = a + 2 b 2 = 1 \displaystyle = \frac{a + 2 b}{2} = 1 = 2 a + 2 b = 1 a + 2 b = 2 a + 2 b = 2 a + 2 b = 2