무리방정식과 분수부등식

$\displaystyle 2 \sqrt{x ^{2} - x - 2} + 2 = x ^{2} - x$에서 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} - x - 2} = t$라 하면 $2 t = t ^{2} ,$ $t ( t - 2 ) = 0$ $\therefore t = 0$또는 $t = 2$ (i) $t = 0$일 때 $x ^{2} - x - 2 = 0 , ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0$ $\therefore x = - 1$또는 $x = 2$ (ii) $t = 2$일 때 $x ^{2} - x - 2 = 4 , ( x - 3 ) ( x + 2 ) = 0$ $\therefore x = - 2$ 또는 $x = 3$ $\displaystyle \frac{x - 5}{x - 1} \leq 0$에서 양변에 $( x - 1 ) ^{2}$을 곱하면 $( x - 1 ) ( x - 5 ) \leq 0$, $x \ne 1$, $\therefore 1 < x \leq 5$ 따라서, (i), (ii)를 동시에 만족하는 $x$의 값은 $2 , 3$으로 $x$의 값의 합은 $5$이다.