확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

문자열 포함배제

문제

여섯 개의 문자 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ , $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ 를 모두 사용하여 만든 $6$ 자리 문자열 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 문자열의 개수는?

(가) $\mathrm{A}$ 의 바로 다음 자리에 $\mathrm{B}$ 가 올 수 없다. (나) $\mathrm{B}$ 의 바로 다음 자리에 $\mathrm{C}$ 가 올 수 없다. (다) $\mathrm{C}$ 의 바로 다음 자리에 $\mathrm{A}$ 가 올 수 없다.

(예를 들어 $\mathrm{C} DFBAE$ 는 조건을 만족시키지만 $\mathrm{C} DFABE$ 는 조건을 만족시키지 않는다.) [4점] ① $380$ ② $432$ ③ $484$ ④ $536$ ⑤ $598$

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②

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해설

A, B, C, D, E, F를 모두 사용하여 만든 $6$ 자리의 문자열의 집합을 $U$ 라 하면 $n ( U ) = 6 !$ 이다. 한편, $U$ 의 원소 중에서 A의 바로 다음 자리에 B가 오는 문자열의 집합을 $X$ , B 바로 다음 자리에 C가 오는 문자열의 집합을 $Y$ , C 바로 다음 자리에 A가 오는 문자열의 집합을 $Z$ 라 하면 주어진 조건을 모두 만족시키는 문자열의 집합은 $X ^{C} \cap Y ^{C} \cap Z ^{C}$ 이다. 따라서 포함배제의 원리에 의해 $n ( X ^{C} \cap Y ^{C} \cap Z ^{C} )$ $= n ( U )$ $- n ( X ) - n ( Y ) - n ( Z )$ $+ n ( X \cap Y ) + n ( Y \cap Z ) + n ( Z \cap X )$ $- n ( X \cap Y \cap Z )$ $= 6 ! - 3 \times 5 ! + 3 \times 4 ! - 0$ $= 4 ! ( 6 \times 5 - 3 \times 5 + 3 )$ $= 24 \times 18$ $= 432$

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