미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무한수열 수렴 판정

문제

수렴하는 무한수열만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] [보 기]

ㄱ. {(−12)n}\displaystyle \left\{ \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\} ㄴ. {5n+1−3n5n+4n}\displaystyle \left\{ \frac{5 ^{n+1} - 3 ^{n}}{5 ^{n} + 4 ^{n}} \right\} ㄷ. {n2+n−nn}\displaystyle \left\{ \frac{\sqrt{n ^{2} + n} - n}{n} \right\}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 무한수열의 수렴과 발산을 추론하기 ㄱ. lim⁡n→∞(−12)n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n} = 0 (참) ㄴ. lim⁡n→∞5n+1−3n5n+4n=lim⁡n→∞5−(35)n1+(45)n=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{5 ^{n+1} - 3 ^{n}}{5 ^{n} + 4 ^{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{5 - \left( \frac{3}{5} \right) ^{n}}{1 + \left( \frac{4}{5} \right) ^{n}} = 5 (참) ㄷ. lim⁡n→∞n2+n−nn=lim⁡n→∞1n2+n+n=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\sqrt{n ^{2} + n} - n}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{\sqrt{n ^{2} + n} + n} = 0 (참)

태그

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