무게중심과 탄젠트

점 ${\mathrm{G}}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 점 $\mathrm{D}$는 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = {\overline{\mathrm{DC}}} = 2$ 점 ${\mathrm{A}}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\triangle \mathrm{ADC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DC}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times {\overline{\mathrm{AH}}}$$= 4$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 4$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = x + 4$ 직각삼각형 $\mathrm{ABH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \sqrt{41} ^{2} = \left( x + 4 \right) ^{2} + 4 ^{2}$, $\left( x + 4 \right) ^{2} = 25$ $x > 0$이므로 $x = 1$, 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = 1$ 직각삼각형 $\mathrm{ADH}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{DH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} = 3 ^{2} + 4 ^{2} = 25$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 5$ 점 $\mathrm{G}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} : {\overline{\mathrm{DG}}} = 2 : 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DG}}} = \frac{1}{3} \times {\overline{\mathrm{AD}}} = \frac{5}{3}$ $\tan \left( \angle \mathrm{CDA} \right)$$= \tan \left( \angle \mathrm{HDA} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AH}}}}{{\overline{\mathrm{DH}}}} = \frac{4}{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DG}}} \times \tan \left( \angle \mathrm{CDA} \right) = \frac{5}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{9}$ $p = 9$, $q = 20$ 따라서 $p + q = 29$