무게중심과 넓이

[출제의도] 삼각형의 무게중심과 평행선의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 꼭짓점 $\mathrm{C}$와 무게중심 $\mathrm{G}$를 지나는 직선과 변 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{M}$이라 하자. 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}} = 2 : 1$ 삼각형 $\mathrm{CGD}$와 삼각형 $\mathrm{CMB}$에서 $\mathrm{\angle} MCB$는 공통이고 $\mathrm{\angle} CDG = \mathrm{\angle} CBM = 90 \mathit{^\circ}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{CGD}$와 삼각형 $\mathrm{CMB}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{CM}}} = {\overline{\mathrm{CG}}} : \left( {\overline{\mathrm{CG}}} + {\overline{\mathrm{GM}}} \right) = 2 : 3$ 즉 두 삼각형 $\mathrm{CGD}$와 $\mathrm{CMB}$의 닮음비는 $2 : 3$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} : {\overline{\mathrm{CB}}} = 2 : 3$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = 1 : 2$ 두 삼각형 $\mathrm{GBD}$, $\mathrm{CGD}$에서 밑변을 각각 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}}$라 하면 높이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GD}}}$로 같고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} : {\overline{\mathrm{DC}}} = 1 : 2$이므로 $\triangle \mathrm{GBD} : \triangle \mathrm{CGD} = 1 : 2$ $\mathrm{\triangle} CGD = \mathrm{2} \times \triangle GBD$ 조건에서 삼각형 $\mathrm{GBD}$의 넓이는 $1$이므로 삼각형 $\mathrm{CGD}$의 넓이는 $2$이다. 삼각형 $\mathrm{BCG}$의 넓이는 두 삼각형 $\mathrm{GBD}$와 삼각형 $\mathrm{CGD}$의 넓이의 합과 같으므로 $\mathrm{\triangle} BCG = 1 + 2$$= 3$ 두 삼각형 $\mathrm{BCG}$, $\mathrm{BGM}$에서 밑변을 각각 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{GM}}$이라 하면 높이가 같고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}} = 2 : 1$이므로 $\triangle \mathrm{BCG} : \triangle \mathrm{BGM} = 2 : 1$ $\mathrm{\triangle} BCG = \mathrm{2} \times \triangle BGM$ $3 = \mathrm{2} \times \triangle BGM$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\triangle} BGM = \frac{3}{2}$ 삼각형 $\mathrm{BCM}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{BGM}$과 삼각형 $\mathrm{BCG}$의 넓이의 합과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} BCM = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$ 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 점 $\mathrm{M}$은 변 $\mathrm{AB}$의 중점이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{MA}}} : {\overline{\mathrm{MB}}} = 1 : 1$ $\triangle \mathrm{AMC} = \triangle \mathrm{BCM}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{AMC}$와 삼각형 $\mathrm{BCM}$의 넓이의 합과 같으므로 $\mathrm{\triangle} ABC$$= \triangle \mathrm{AMC} + \triangle \mathrm{BCM}$$\displaystyle = \frac{9}{2} \times 2$$= 9$ [다른 풀이]

그림과 같이 꼭짓점 $\mathrm{A}$와 무게중심 $\mathrm{G}$를 지나는 직선과 변 $\mathrm{BC}$의 교점을 $\mathrm{P}$라 하고, 무게중심 $\mathrm{G}$에서 변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 두 선분 $\mathrm{AG}$와 $\mathrm{GP}$의 길이의 비는 $2 : 1$이다. 선분 $\mathrm{QG}$와 $\mathrm{BP}$는 평행하므로 두 직각삼각형 $\mathrm{AQG}$와 $\mathrm{ABP}$는 서로 닮음이고 닮음비는 $2 : 3$이다. 선분 $\mathrm{GD}$와 $\mathrm{AB}$는 평행하므로 $\mathrm{\angle} PGD$$\mathrm{=} \angle PAB$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} : {\overline{\mathrm{GP}}} = 2 : 1$이므로 두 직각삼각형 $\mathrm{AQG}$와 $\mathrm{GDP}$는 서로 닮음이고 닮음비가 $2 : 1$이다. 삼각형 $\mathrm{GBD}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{GQB}$의 넓이는 $1$로 같고 두 삼각형 $\mathrm{GAQ}$, $\mathrm{GQB}$에서 밑변을 각각 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}}$와 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}}$라 하면 높이가 같고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} : {\overline{\mathrm{BQ}}} = 2 : 1$이므로 $\triangle \mathrm{AQG} : \triangle \mathrm{GQB} = 2 : 1$ 따라서 삼각형 $\mathrm{AQG}$의 넓이는 $2$이다. 삼각형 $\mathrm{AQG}$와 $\mathrm{GDP}$의 닮음비가 $2 : 1$이므로 삼각형 $\mathrm{AQG}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{GDP}$의 넓이의 비는 $2 ^{2} : 1 ^{2} = 4 : 1$ 따라서 삼각형 $\mathrm{GDP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이는 $\displaystyle \mathrm{2} + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$이다. 점 $\mathrm{P}$가 변 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이의 $2$배이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{9}{2} \times 2 = 9$