확률과 통계통계적 추정수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

모평균의 신뢰구간

문제

어느 지역 주민들의 하루 여가 활동 시간은 평균이 mm분, 표준편차가 σ\sigma분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역 주민 중 1616명을 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 7575분일 때, 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간이 a≤m≤ba \leq m \leq b이다. 이 지역 주민 중 1616명을 다시 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 7777분일 때, 모평균 mm에 대한 신뢰도 99%99 \%의 신뢰구간이 c≤m≤dc \leq m \leq d이다. d−b=3.86d - b = 3.86을 만족시키는 σ\sigma의 값을 구하시오. ((단, ZZ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤1.96)=0.95,P(∣Z∣≤2.58)=0.99\mathrm{P} ( \mathit{|} Z | \leq 1.96 ) = 0.95 , \mathrm{P} ( \mathit{|} Z | \leq 2.58 ) = 0.99로 계산한다.)) [4점]

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해설

[출제의도] 모평균을 추정할 수 있는가? x‾=75\displaystyle {\overline{x}} = 75일 때, 신뢰도 95%의 신뢰구간은 75−1.96×σ16≤m≤75+1.96×σ16\displaystyle 75 - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \leq m \leq 75 + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} x‾=77\displaystyle {\overline{x}} = 77일 때, 신뢰도 99%의 신뢰구간은 77−2.58×σ16≤m≤77+2.58×σ16\displaystyle 77 - 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \leq m \leq 77 + 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} 따라서 b=75+1.96×σ16\displaystyle b = 75 + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} d=77+2.58×σ16\displaystyle d = 77 + 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} 이므로 d−b=(77+2.58×σ16)−(75+1.96×σ16)\displaystyle d - b = \left( 77 + 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \right) - \left( 75 + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \right) =2+0.155σ=3.86= 2 + 0.155 \sigma = 3.86 σ=12\sigma = 12

태그

#신뢰구간#모평균의 추정

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