확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

모평균의 신뢰구간

문제

어느 회사에서 생산하는 음료수 $1$ 병에 들어 있는 칼슘 함유량은 모평균이 $m$ , 모표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 음료수 $16$ 병을 임의추출하여 칼슘 함유량을 측정한 결과 표본평균이 $12.34$ 이었다. 이 회사에서 생산한 음료수 $1$ 병에 들어 있는 칼슘 함유량의 모평균 $m$ 에 대한 신뢰도 $95 \%$ 의 신뢰구간이 $11.36 \leq m \leq a$ 일 때, $a + \sigma$ 의 값은? (단, $Z$ 가 표준정규분포를 따를 때 ${\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 1.96 ) = 0.4750$ 이고, 칼슘함유량의 단위는 $\mathrm{mg}$ 이다.) [3점] ① $14.32$ ② $14.82$ ③ $15.32$ ④ $15.82$ ⑤ $16.32$

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③

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해설

음료수 한 병에 들어간 칼슘 함유량을 $X$ 라 하면 $X$ 는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{(} m , \sigma ^{2} )$ 을 따른다. 크기가 $16$ 인 표본의 평균은 $\displaystyle \overline{X} = 12.34$ 따라서 신뢰도 $95 \%$ 로 모평균을 추정하면 $\displaystyle 12.34 - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{16}} \leq m \leq 12.34 + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{16}}$ 인데 $11.36 \leq m \leq a$ 이므로 $\displaystyle 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{16}} = 12.34 - 11.36$ $\therefore \sigma = 2$ 이고 $\displaystyle a = 12.34 + 1.96 \frac{2}{4} = 13.32$ $\therefore a + \sigma = 13.32 + 2 = 15.32$

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