확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

모평균의 신뢰구간

문제

평균이 mm이고 표준편차가 55인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 3636인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 모평균 mm에 대한 신뢰도 99%99 \%의 신뢰구간이 1.2≤m≤a1.2 \leq m \leq a이다. aa의 값은? (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤2.58)=0.99{\mathrm{P}} \left( \left| Z \right| \leq 2.58 \right) = 0.99로 계산한다.) [3점] ①5.15.1②5.25.2③5.35.3④5.45.4⑤5.55.5

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해설

모표준편차가 55, 표본의 크기가 3636이므로 표본평균을 X‾\displaystyle {\overline{X}}라 할 때, 모평균 mm에 대한 신뢰도 99%99 \%의 신뢰구간은 X‾−2.58×536≤m≤X‾+2.58×536\displaystyle {\overline{X}} - 2.58 \times \frac{5}{\sqrt{36}} \leq m \leq {\overline{X}} + 2.58 \times \frac{5}{\sqrt{36}} 이므로 X‾−2.58×536=1.2\displaystyle {\overline{X}} - 2.58 \times \frac{5}{\sqrt{36}} = 1.2, X‾+2.58×536=a\displaystyle {\overline{X}} + 2.58 \times \frac{5}{\sqrt{36}} = a 이때 X‾=1.2+2.15=3.35\displaystyle {\overline{X}} = 1.2 + 2.15 = 3.35이므로 a=3.35+2.58×536\displaystyle a = 3.35 + 2.58 \times \frac{5}{\sqrt{36}}=3.35+2.15=5.5= 3.35 + 2.15 = 5.5

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#신뢰구간#표본평균

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