확률과 통계통계적 추정수능 기출기본 문제 (3점 중반)

모평균 신뢰구간

문제

어느 회사가 생산하는 약품 한 병의 무게는 평균이 mgm \mathrm{g}, 표준편차가 1g1 {\mathrm{g}}인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사가 생산한 약품 중 nn병을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간을 구하면 a≤m≤ba \leq m \leq b이다. 100(b−a)=49100 ( b - a ) = 49일 때, 자연수 nn의 값을 구하시오. (단, ZZ가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(∣Z∣≤1.96)=0.95\mathrm{P} \mathit{(} \left| Z \right| \leq 1.96 ) = 0.95로 계산한다.) [3점]

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해설

[출제의도] 표본평균을 이용하여 모평균의 신뢰구간을 구한다. 모표준편차가 11이고 표본의 크기가 nn일 때, 표본평균을 x‾\displaystyle {\overline{x}}라 하면 모평균 mm에 대한 신뢰도 95%95 \%의 신뢰구간은 x‾−1.96×1n≤m≤x‾+1.96×1n\displaystyle {\overline{x}} - 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{n}} \leq m \leq {\overline{x}} + 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{n}} 100(b−a)=100×2×1.96×1n=49\displaystyle 100 ( b - a ) = 100 \times 2 \times 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{n}} = 49에서 n=64n = 64

태그

#신뢰구간

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